Правила нахождения первообразных 11 класс презентация

Презентация первообразная правила вычисления первообразных

перентация «Первообразная» к учебнику Колягина.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка

Найдите такую функцию, чтобы ее производной была данная функция:

Если F(x) – первообразная для функции f(x) на некотором промежутке, то функция F(x)+C также является первообразной функции f(x) на этом промежутке, где C –произвольная постоянная.

Основное свойство первообразных Если F(x) – первообразная функции f(x), то и функция F(x)+C, где C – произвольная постоянная, также является первообразной функции f(x). Графики всех первообразных данной функции f(x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси y. Геометрическая интерпретация y x

Правила нахождения первообразных

Если F(x) – первообразная для функции f(x) , а k и b — константы , причем то -первообразная для функции

Математический диктант к уроку алгебры и начал анализа в 11 классе.

Самостоятельная работа по теме «Общий вид первообразных».

Тест разработан с учётом ФГОС, содержит два варианта заданий, ответы.

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

• Дать определение первообразной функции; познакомить с формулами и правилами нахождения первообразных; научить находить первообразную для функции.
• Развивать логическое мышление, познавательный интерес к предмету; самостоятельность; уверенность в своих силах.
• Воспитывать такие качества личности как познавательная активность, чувства уважения к учебному труду, ответственность за полученный результат.

План урока.1. Организационный момент.Сообщение цели урока.2. Актуализация знаний.Определение производной функции. (Презентация, слайд 2).Устная работа. (Презентация, слайд 3,4).3. Объяснение новой темы.Создание проблемной ситуации.1. Повторение физического смысла производной. (Презентация, слайд 5).2. Решение задачи: Точка движется прямолинейно по закону s(t) = + 2t (где s(t) – измеряется в м). Найдите скорость точки в момент времени t=2с. (Презентация, слайд 6).3. Подведение промежуточных итогов урока. (Презентация, слайд 7).4. Решение задачи: По прямой движется материальная точка, скорость которой в момент времени t задается формулой v(t) = 3. Найдите закон движения.5. Анализ решения задачи, полноты её решения. (Презентация, слайд 8).Определение первообразной. (Презентация, слайд 9,10,11).Решение задачи на доказательство. (Презентация, слайд 12).Знакомство с формулами нахождения первообразных и их отработка. (Презентация, слайд 13).Знакомство с правилами нахождения первообразных. (Презентация, слайд 14).4. Закрепление новой темы.Коллективная работа, решение задач, отработка формул и правил нахождения первообразных. (Презентация, слайд 15).Самостоятельная работа. (Презентация, слайд 16).5. Подведение итогов урока. (Презентация, слайд 17).xn--i1abbnckbmcl9.xn--p1ai

Презентация к уроку алгебры (11 класс) по теме: Первообразная

Презентация по теме «Первообразная»

Подписи к слайдам:

Первообразная Правила нахождения первообразныхПоказать, что функция является первообразной для функции Решение:Если F(x) – первообразная для функции f(x) , а G(x) – первообразная для функции g(x) , то F(x)+G(x) – первообразная для функции f(x)+g(x) Первообразная суммы равна сумме первообразныхЕсли F(x) – первообразная для функции f(x) , а а –константа , то а F(x) – первообразная для функции а f(x) Постоянный множитель можно выносить за знак первообразнойЕсли F(x) – первообразная для функции f(x) , а k и b — константы , причем т о -первообразная для функцииНайти первообразные для функции Решение:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Контрольная работа по алгебре по теме «Производная и первообразная» в формате тестов по типу КИМов ЕГЭ.Самостоятельные и контрольные работы. Зачет по теме.Урок повторения и систематизация знаний.Урок обобщения, контроля знаний. Задания сформулированы таким образом, чтобы еще раз обратить внимание на нахождение и запись одной первообразной из всего их множества и общего вида первообразных для .nsportal.ru

Интеграл и первообразная. 1. Первообразная 1.1. Определение первообразной 1.2. Основное свойство первообразной 1.3. Три правила нахождения первообразной 1.6. Таблица. — презентация

Презентация была опубликована 4 года назад пользователемГригорий Осминин

Презентация на тему: » Интеграл и первообразная. 1. Первообразная 1.1. Определение первообразной 1.2. Основное свойство первообразной 1.3. Три правила нахождения первообразной 1.6. Таблица.» — Транскрипт:

2 1. Первообразная 1.1. Определение первообразной 1.2. Основное свойство первообразной 1.3. Три правила нахождения первообразной 1.6. Таблица 2. Интеграл 2.1. Площадь криволинейной трапеции 2.2. Интеграл. Формула Ньютона – Лейбница3 1. Первообразная 1.1. Определение первообразной Определение: Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F(x) = f(x)4 1.2 основное свойство первообразной общий вид первообразных. Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. Признак постоянства функции. Если F(x) =0 на некотором промежутке I, то функция F – постоянна на этом промежутке. Доказательство. Зафиксируем некоторое х 0 из промежутка I. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число с, заключенное между х и х 0, что F(x)-F(c) = F(c)(x-x 0 ). По условию F(c)=0, так как с I, следовательно, F(x)-F(x 0 ) = 0. Итак, для всех х из промежутка I F(x) = F(x 0 ), т.е. функция F сохраняет постоянное значение. (продолжение следует)5 Основное свойство первообразной… Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных): Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F(x) + C, Где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на промежутке I, а С – произвольная постоянная.6 Основное свойство первообразной Свойства первообразных 1) какое бы число ни поставить в выражение F(x)+C вместо С, получим первообразную для f на промежутке I. 2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство Ф(х) = F(x) + C. Доказательство. 1) по условию функции F – первообразная для f на промежутке I. Следовательно, F(x)=f(x) для любого х I, поэтому (F(x) + C) = F(x) + C = f(x) + 0 = f(x), т.е. F(X) + C – первообразная для f. 2) пусть Ф(х) – одна из первообразных для функции f на том же промежутке I, т.е. Ф(x)=f(x) для всех х I. Тогда (Ф(х) — F(x)) = Ф(x) — F(x) = f(x) — f(x) = 0 Отсюда следует в силу признака постоянства функции, что разность Ф(х) F(x) есть функция, принимающая некоторое постоянное значение С на промежутке I. Таким образом, для всех х из промежутка I справедливо равенство Ф(х) — F(x) = C, что и требовалось доказать.7 1.3 три правила нахождения первообразных Правило 1. если F есть первообразная для f, а для G – первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g. Действительно, так как F=f и G=g, по правилу вычисления производной суммы имеем: (F+G) = F + G = f + g. Правило 2. если F есть первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf. Действительно, постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому: (kF) = kF = kf. Правило 3. если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b – постоянные, причем k=0, то F(kx+b) есть первообразная для f(kx+b). Действительно, по правилу вычисления производной сложной функции имеем: ( F (kx + b)) = F(kx + b)*k=f (kx + b)8 интеграл 2.1. площадь криволинейной трапеции Пусть на отрезке [a; b] оси оХ задана непрерывная функция f, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [a; b] и прямых х = а и х = b, называют криволинейной трапецией. Теорема. Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция, a F — ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b], т.е. S=F(b)-F(a). Доказательство. Рассмотрим функцию S(x), определенную на отрезке [a; b]. Если a9 2.1площадь криволинейной трапеции… Рис.1 y x a bXo10 2.1 площади криволинейной трапеции… Пусть Хo принадлежит [a,b]. f(x) непрерывна в Xo. Тогда в достаточно малой окрестности в точке Xo функцию f(x) можно считать постоянной и равной f(Xo). Тогда прирощение равно площади приближенно равно: f(x) x S : x = f(x) Если x 0, S : x S(Xo) S(Xo) = f(Xo) т.е S — первообразная функции f в точке Xo11 2.1площаль криволинейной трапеции Получили, что S есть первообразная для f. Поэтому в силу основного свойства первообразных для всех х [a; b] имеем: S(x) = F(x) + C, Где С — некоторая постоянная, а F – одна из первообразных для функции f. Для нахождения С подставим х = а: F(a) + C=S(a)=0, Откуда С= -F(a). Следовательно, S(x) = F(x) — F(a). Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S(b), подставляя х = b в формулу S(x)+F(x)-F(a), получим: S = S(b) = F(b) — F(a).12 2.2Интеграл. Формула Ньютона – Лейбница Понятие об интеграле. Пусть функция f неотрицательна и непрерывна на отрезке [a; b], тогда площадь S соответствующей криволинейной трапеции можно приближенно подсчитать следующим образом. Разобьем отрезок [a; b] на n отрезков одинаковой длины точками x0 = a13 2.2 Рис.2 X1X2 Xn-1 y x14 2.2 Для любой непрерывной функции на отрезке[a,b] доказано, что Sn S к некоторому числу. Это число называют интегралом функции. f(x)d(x), где f(x) подинтегральная функция, a – нижний предел интегрирования, b- верхний, — интеграл, x – переменная. Интеграл – это предел интегрированяи сумм. Сравнивая S= F(b) – F(a) и S= f(x)dx, можно записать15 2.2 Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница. Она верна для любой функции f, непрерывной на отрезке [a; b].www.myshared.ru

Конспект и презентация урока по алгебре на тему»Первообразная. Вычисление первообразной»

Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок»Выбранный для просмотра документ Презентация к уроку Правила нахождения первообразных.pptxОписание презентации по отдельным слайдам:«Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию». Ян Амос КоменскийВопрос: какая функция называется первообразной? Ответ: Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежуткаВопрос: Является ли функция F(x)=3×2+11x первообразной для функции f(x)=6х+10? Ответ: Нет, т.к. производная функции F(x)=3×2+11x равна 6х+11, а не 6х+10.Вопрос: Какое количество первообразных можно найти для некоторой функции f(x)? Ответ обоснуйте. Ответ: Бесконечно много, т.к. к полученной функции мы всегда прибавляем константу, которая может быть любым вещественным числом.Вопрос: Каким образом показать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x)? Ответ: Найти производную функции F(x).Задачи на доказательство:1) f(x) = 4 2) f(x) = -1 3) f(x) = x3 4) f(x) = sin x 5) f(x) = x2 + 3cos x Найти первообразные для следующих функцийНайдите общий вид первообразной для функцииДомашнее задание п.п.26-29 повторить, №326а,б №327в,г

• Аджаматова Гульнара Мавлетовна
• 505
• 19.10.2017

К учебнику: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. (базовый и углубленный уровни) Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др. 3-е изд. — М.: Просвещение, 2016. — 464 с.

К уроку: § 55. Правила нахождения первообразных

Номер материала: ДБ-773093

Свидетельство о публикации данного материала автор может скачать в разделе «Достижения» своего сайта.

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Презентация на тему: Методическое пособие для учащихся 11 классовПроизводная. Первообразная



Методическое пособие для учащихся 11 классовПроизводная. Первообразная. Интеграл. (по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике)2018 г.

2

Слайд 2

Физический смыслпроизводной

3

Слайд 3

Материальная точка движется прямолинейно по закону(где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t  = 9 с.Задача №1Ответ: 60 м/с.

4

Слайд 4

Материальная точка движется прямолинейно по закону(где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t  = 6 с.Задача №2Ответ: 20 м/с.

5

Слайд 5

Материальная точка движется прямолинейно по закону(где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t  = 6 с.Задача №3Ответ: 59 м/с.

6

Слайд 6

Материальная точка движется прямолинейно по закону(где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?Задача №4Ответ: 7с.

7

Слайд 7

Задача №5На рисунке показан график движения автомобиля по маршруту. На оси абсцисс откладывается время (в часах), на оси ординат — пройденный путь (в километрах). Найдите среднюю скорость движения автомобиля на данном маршруте. Ответ дайте в км/ч.Ответ: 40 км/ч

8

Слайд 8

Задача №6St10••Материальная точка М начинает движение из точки А и движется на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки М со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах,на оси ординат – расстояние s в метрах. Определите, сколько раз за время движения скорость точки М обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).Ответ: 11.

9

Слайд 9

Геометрический смысл производной, касательная

10

Слайд 10

Задача № 7yx1- 1•••28mНа рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой. Найдите значение производной функции в точке.0Ответ: 0,25

11

Слайд 11

Задача № 8yx1- 1•••На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции f(x ) в точке.0Ответ: − 0,5

12

Слайд 12

Задача №9yx01- 1На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой. Найдите значение производной функции в точке.810x••Ответ: 0, 8

13

Слайд 13

Задача №100×1- 1yНа рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой. Найдите значение производной функции в точке.48••Ответ: − 0,5

14

Слайд 14

На рисунке изображен график функции  y=f ( x ). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите  f ' (8).Задача №11Ответ:  1,25

15

Слайд 15

Задача №12yxНа рисунке изображён график функции и отмечены точки-7, -3, 1, 7. В какойиз этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.-7-3017Ответ: 7

16

Слайд 16

Задача №13•••yx•0-5-337На рисунке изображён график функции и отмечены точки -5, -3, 3, 7. В какой из этих точек значение производнойmnОтвет: 3

17

Слайд 17

Применение производнойк исследованиюфункций

18

Слайд 18

Задача №14На рисунке изображён график функции Найдите среди точек,,,, и те точки, в которых производная функции отрицательна. В ответ запишите количество найденных точек.••••••yxОтвет: 2

19

Слайд 19

Задача №15••••••yx••••0На рисунке изображены график функции и десять точек на оси абсцисс:,,,. В скольких из этих точек производная функции положительна.Ответ: 3

20

Слайд 20

Задача №16На рисунке изображён график функции Найдите среди точек,,,, и те точки, в которых производная функции отрицательна. В ответ запишите количество найденных точек.Ответ: 4.y0x••••••

21

Слайд 21

Задача №17yx01-113На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-1;13). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.Ответ: 5

22

Слайд 22

Задача №18yНа рисунке изображён график функции Найдите среди точек,,,, и те точки, в которых производная функции отрицательна. В ответ запишите количество найденных точек.x0••••••Ответ: 2.

23

Слайд 23

yxЗадача №190•••••••На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-1;13). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.Ответ: 2.

24

Слайд 24

Задача №20yx011На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале Найдите количество точек, в которых касательная кграфику функции f(x ) параллельна прямой или совпадает с ней.••••Ответ: 4.

25

Слайд 25

Задача №21yx011На рисунке изображён график производной функции, определённой на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.••Ответ: 2.

26

Слайд 26

Задача №22yx011-66На рисунке изображён график производной функции, определённой на интервале В какой точке отрезка принимает наименьшее значение?Ответ: 2.••

27

Слайд 27

Задача №23yx110-55На рисунке изображён график производной функции, определённой на интервале В какой точке отрезка принимает наибольшее значение?Ответ: -1.••

28

Слайд 28

Задача №24Задача №25Ответ: 1.Ответ: — 0,5.Прямая  y  = 6x + 9  параллельна касательной к графику функцииy = x 2  + 7x − 6.  Найдите абсциссу точки касания.Прямая  y  = − 4x − 8  является касательной к графику функцииy = x 3  − 3x 2 − x  − 9.  Найдите абсциссу точки касания.

29

Слайд 29

Задача №26Ответ: 2.Прямая  y  = 5x + 14  является касательной к графику функцииy = x 3  − 4x 2 + 9 x  +14.  Найдите абсциссу точки касания.

30

Слайд 30

Прямая  y  = 3x + 4  является касательной к графику функцииy = x 3  + 4 x 2 + 3 x  + 4.  Найдите ординату точки касания.Задача №27Решение.Значение производной функции в точке касанияравно угловому коэффициенту касательной, т.

е. y / = 3y / = 3 x 2 + 8x + 33 x 2 + 8x + 3 = 3x(3x+8) = 0. Отсюда x = 0 или x = 8 /3Уравнению x 3  + 4 x 2 + 3 x  + 4 = 3x + 4 удовлетворяет толькоx = 0. Значит, абсцисса точки касания равна 0, а тогда ееордината равна 4.Ответ: 4.

31

Слайд 31

Прямая  y  = 3x + 1 является касательной к графику функции  ax 2  + 2x + 3. Найдите  a.По смыслу задачи  a  ≠ 0, а значит, график заданнойфункции − парабола. Касательная к параболе(а также и к гиперболе) имеет с ней единственнуюобщую точку.

Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение ax 2  + 2x + 3  = 3x + 1 имело единственно решение.Получим ax 2  + 2x + 3 − 3x − 1ax 2  −  x  + 2 = 0D = 1 − 8аДля этого дискриминант должен быть равен нулю, откуда1 − 8а  = 0a =   1 /8 = 0,125Задача №28Решение.

Ответ: 0,125.

32

Слайд 32

Прямая  y  = 3x + 4  является касательной к графику функции3x 2   − 3x + с. Найдите  с.Задача №29Решение.График заданной функции − парабола. Касательная к параболеимеет с ней единственную общую точку.

Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение 3x 2   − 3x + с  = 3x + 4 имело единственно решение.

Получим3x 2 − 6x + с − 4  = 0D = 36 − 12(с − 4) = 36 − 12с+ 48 = 84 − 12сДля этого дискриминант должен быть равен нулю, откуда84 − 12с = 0с =  84/12 = 7Ответ: 7.

33

Слайд 33

Задача №30xy011- 77На рисунке изображён график функции, определённой на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой••••••••Ответ: 8.

34

Слайд 34

Задача №31y011- 74xНа рисунке изображён график функции, определённой на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой••••••②③④⑥Ответ: 6.

35

Слайд 35

②Задача №32yx011На рисунке изображён график производной функции, определённой на интервале Найдите количество точек минимума функции на отрезке15Ответ: 2.••

36

Слайд 36

Задача №33yx011-215На рисунке изображён график производной функции, определённой на интервале Найдите количество точек экстремума функции на отрезкеОтвет: 3.•••②③

37

Слайд 37

Задача №34yx011-118На рисунке изображён график производной функции, определённой на интервале Найдите количество точек максимума функции на отрезкеОтвет: 2.②••

38

Слайд 38

Задача №35yx011На рисунке изображён график производной функции, определённой на интервале Найдите промежутки убывания функции В ответе укажите длину наибольшего из них.-31 1Ответ: 4.

39

Слайд 39

Задача №36yx011-69Ответ: 6.На рисунке изображен график производной функции  f ( x ), определенной на интервале (−6; 9). Найдите промежутки возрастания функции  f ( x ). В ответе укажите длину наибольшего из них.

40

Слайд 40

Задача №37yx011На рисунке изображён график производной функции, определённой на интервале Найдите промежутки убывания функции В ответе укажите длину наибольшего из них.7- 7Ответ: 4.

41

Слайд 41

Задача №38yx01На рисунке изображён график производной функции, определённой на интервале Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите длину наибольшего из них.-113Ответ: 5.

42

Слайд 42

Задача №390x•На рисунке изображен график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции в точкеОтвет: 2.

43

Слайд 43

y0x•••••Задача №40••-56Функция определена на интервале На рисунке изображён график функции. Найдите среди точек,, те точки, в которыхпроизводная функции равна нулю. В ответ запишите количество найденных точек.Ответ: 4.Производная в точке не существует

44

Последний слайд презентации: Методическое пособие для учащихся 11 классовПроизводная. Первообразная

Задача №42На рисунке изображён график некото-рой функции   (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите , где- одна из первообразных функции .Решение.Ответ: 7.Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площадивыделенной на рисунке трапеции Поэтому

Алгебра – 11 класс. Первообразная функция


Ребята, вы умеем находить производные функций, используя различные формулы и правила. Сегодня мы будем изучать операцию, обратную вычислению производной. Понятие производной часто применяется в реальной жизни. Напомню: производная – это скорость изменения функции в конкретной точке.

Процессы, связанные с движением и скоростью, хорошо описываются в этих терминах. Давайте рассмотрим вот такую задачу: «Скорость движения объекта, по прямой, описывается формулой $V=gt$. Требуется восстановить закон движения.Решение. Мы хорошо знаем формулу: $S'=v(t)$, где S — закон движения.

Наша задача сводится к поиску функции $S=S(t)$, производная которой равна $gt$. Посмотрев внимательно, можно догадаться, что $S(t)=frac{g*t2}{2}$.Проверим правильность решения этой задачи: $S'(t)=(frac{g*t2}{2})'=frac{g}{2}*2t=g*t$.Зная производную функции, мы нашли саму функцию, то есть выполнили обратную операцию.

Но стоит обратить внимание вот на такой момент. Решение нашей задачи требует уточнения, если к найденной функции прибавить любое число (константу), то значение производной не изменится:$S(t)=frac{g*t2}{2}+c,c=const$.$S'(t)=(frac{g*t2}{2})'+c'=g*t+0=g*t$.

Ребята, обратите внимание: наша задача имеет бесконечное множество решений! Если в задаче не задано начальное или какое-то другое условие, не забывайте прибавлять константу к решению. Например, в нашей задаче может быть задано положение нашего тела в самом начале движения.

Тогда вычислить константу не трудно, подставив ноль в полученное уравнение, получим значение константы. Как называется такая операция? Операция обратная дифференцированию называется – интегрированием. Нахождение функции по заданной производной – интегрирование.

Сама функция будет называться первообразной, то есть образ, то из чего была получена производная функции.Первообразную принято записывать большой буквой $y=F'(x)=f(x)$.

Определение. Функцию $y=F(x)$ называется первообразной функции $у=f(x)$ на промежутке Х, если для любого $хϵХ$ выполняется равенство $F’(x)=f(x)$.

Давайте составим таблицу первообразных для различных функции. Ее надо распечатать в качестве памятки и выучить.

В нашей таблице никаких начальных условий задано не было. Значит к каждому выражению в правой части таблицы следует прибавить константу. Позже мы уточним это правило.

Правила нахождения первообразных

Давайте запишем несколько правил, которые нам помогут при нахождении первообразных. Все они похожи на правила дифференцирования.

Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

Пример.Найти первообразную для функции $y=4×3+cos(x)$.Решение.Первообразная суммы равна сумме первообразных, тогда надо найти первообразную для каждой из представленных функций.$f(x)=4×3$ => $F(x)=x4$.$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.Тогда первообразной исходной функции будет: $y=x4+sin(x)$ или любая функция вида $y=x4+sin(x)+C$.

Правило 2. Если $F(x)$ – первообразная для $f(x)$, то $k*F(x)$ – первообразная для функции $k*f(x)$. (Коэффициент можем спокойно выносить за функцию).

Пример. Найти первообразные функций:а) $y=8sin(x)$.б) $y=-frac{2}{3}cos(x)$.в) $y={3x}2+4x+5$.Решение.а) Первообразной для $sin(x)$ служит минус $cos(x)$. Тогда первообразная исходной функции примет вид:$y=-8cos(x)$. б) Первообразной для $cos(x)$ служит $sin(x)$. Тогда первообразная исходной функции примет вид:$y=-frac{2}{3}sin(x)$. в) Первообразной для $x2$ служит $frac{x3}{3}$. Первообразной для x служит $frac{x2}{2}$. Первообразной для 1 служит x. Тогда первообразная исходной функции примет вид:$y=3*frac{x3}{3}+4*frac{x2}{2}+5*x=x3+2×2+5x$.

Правило 3. Если $у=F(x)$ — первообразная для функции $y=f(x)$, то первообразная для функции $y=f(kx+m)$ служит функция $y=frac{1}{k}*F(kx+m)$.

Пример. Найти первообразные следующих функций:а) $y=cos(7x)$.б) $y=sin(frac{x}{2})$.в) $y={-2x+3}3$.г) $y=e{frac{2x+1}{5}}$.Решение.а) Первообразной для $cos(x)$ служит $sin(x)$. Тогда первообразная для функции $y=cos(7x)$ будет функция $y=frac{1}{7}*sin(7x)=frac{sin(7x)}{7}$. б) Первообразной для $sin(x)$ служит минус $cos(x)$. Тогда первообразная для функции $y=sin(frac{x}{2})$ будет функция $y=-frac{1}{frac{1}{2}}cos(frac{x}{2})=-2cos(frac{x}{2})$. в) Первообразной для $x3$ служит $frac{x4}{4}$, тогда первообразная исходной функции $y=-frac{1}{2}*frac{{(-2x+3)}4}{4}=-frac{{(-2x+3)}4}{8}$. г) Слегка упростим выражение в степени $frac{2x+1}{5}=frac{2}{5}x+frac{1}{5}$.Первообразной экспоненциальной функции является сама экспоненциальная функция. Первообразной исходной функции будет $y=frac{1}{frac{2}{5}}e{frac{2}{5}x+frac{1}{5}}=frac{5}{2}*e{frac{2x+1}{5}}$.

Теорема. Если $у=F(x)$ — первообразная для функции $y=f(x)$ на промежутке Х, то у функции $y=f(x)$ бесконечно много первообразных, и все они имеют вид $у=F(x)+С$.

Если во всех примерах, которые были рассмотрены выше, требовалось бы найти множество всех первообразных, то везде следовало бы прибавить константу С.Для функции $y=cos(7x)$ все первообразные имеют вид: $y=frac{sin(7x)}{7}+C$.Для функции $y=(-2x+3)3$ все первообразные имеют вид: $y=-frac{{(-2x+3)}4}{8}+C$. Пример. По заданному закону изменения скорости тела от времени $v=-3sin(4t)$ найти закон движения $S=S(t)$, если в начальный момент времени тело имело координату равную 1,75.Решение.Так как $v=S’(t)$, нам надо найти первообразную для заданной скорости.$S=-3*frac{1}{4}(-cos(4t))+C=frac{3}{4}cos(4t)+C$.В этой задаче дано дополнительное условие — начальный момент времени. Это значит, что $t=0$.$S(0)=frac{3}{4}cos(4*0)+C=frac{7}{4}$.$frac{3}{4}cos(0)+C=frac{7}{4}$.$frac{3}{4}*1+C=frac{7}{4}$.$C=1$.Тогда закон движения описывается формулой: $S=frac{3}{4}cos(4t)+1$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти первообразные функций:а) $y=-10sin(x)$.б) $y=frac{5}{6}cos(x)$.в) $y={4x}5+{3x}2+5x$.2. Найти первообразные следующих функций:а) $y=cos(frac{3}{4}x)$.б) $y=sin(8x)$.в) $y={(7x+4)}4$.г) $y=e{frac{3x+1}{6}}$.3. По заданному закону изменения скорости тела от времени $v=4cos(6t)$ найти закон движения $S=S(t)$, если в начальный момент времени тело имело координату равную 2.

Правила нахождения первообразных 11 класс презентация



Найдите одну из первообразных для функции f на R. f(x) = 3,5; f(x) = cos x; f(x) = 2х; f(x) = -x;f(x) = -4; f(x) = — sin х. Самостоятельная работа Вариант 1.1.

Является ли функция F первообразная для функции f на промежутке (-∞;∞): а) F(х) = 2х2 – 0,5; f (х) = 4х;б) F(х) = х7 + cos x; f (х) = 7х+sin x;в) F(х) = 2 sin x+6; f (х) = 2 sin x. Приложенные файлы

1. Размер файла: 229 kB Загрузок: 96

Запись опубликована автором в рубрике .

Презентация первообразная правила вычисления первообразных

11-й класс Презентация к уроку Внимание!

Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию. Цель. Дать определение первообразной функции; познакомить с формулами и правилами нахождения первообразных; научить находить первообразную для функции.

Развивать логическое мышление, познавательный интерес к предмету; самостоятельность; уверенность в своих силах. Воспитывать такие качества личности как познавательная активность, чувства уважения к учебному труду, ответственность за полученный результат.

Понятие первообразной.

— презентация

Докажите, что функция F(x) является первообразной для функции f(x). Формулы и правила дифференцирования http://aida.ucoz.ru Функция F(x)называется первообразной для функции f(x)на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка 3)3) Задача 1.

4)4) Формулы и правила дифференцирования http://aida.ucoz.ru Функция F(x)называется первообразной для функции f(x)на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка Задача 1.

Докажите, что функция F(x) является первообразной для функции f(x). 5)5) Формулы и правила дифференцирования http://aida.ucoz.ru Функция

Презентация на тему «Первообразная. Правила нахождения первообразных»

Первообразная.

Правила нахождения первообразных

«https://pptcloud3.ams3.digitaloceanspaces.com/html5ppt/148118/index.html»

style=»width: 680px; height: 490px;» allowfullscreen> Скопировать код Спасибо, что оценили презентацию. Мы будем благодарны если вы поможете сделать сайт лучше и оставите отзыв или предложение по улучшению. © 2014 — 2020 Облачный хостинг презентаций Email: Проект Популярные разделы

Презентация на тему Первообразная 11 класс

Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей.

Проведем через полученные точки прямые, параллельные оси OY.

Заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей.

Площадь всей трапеции приближенно равна сумме площадей столбиков.

по определению , его называют определенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают так:Связь между определенным интегралом и первообразной (Формула Ньютона — Лейбница)Для непрерывной функции где F(x) – первообразная функции f(x).

Основные свойства определенного интегралаГеометрический смысл определенного интегралаПлощадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:Замечание: Если функция изменяет знак на промежутке [a;b]

Презентация к уроку (алгебра, 11 класс) на тему: Презентация по алгебре 11 класс «Первообразная. Интеграл» — презентация

Правила интегрирования Определенный интеграл В декартовой прямоугольной системе координат XOY фигура, ограниченная осью OX, прямыми x=a, x=b (a Определенный интеграл Вычислим площадь криволинейной трапеции.

Основные свойства определенного интеграла Геометрический смысл определенного интеграла Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b: Геометрический смысл определенного интеграла Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b: Геометрический смысл определенного интеграла Замечание : Если функция изменяет знак на промежутке [a;b], то Физический смысл определенного интеграла При прямолинейном движении перемещение s численно равно площади криволинейной трапеции под графиком зависимости скорости v от времени t: с помощью определенного интеграла Вычисление площадей и объемов Площадь фигуры, Ограниченной графиками непрерывных функций y=f(x) и y=g(x) таких, что для любого x из [a;b], где a и b – абсциссы точек пересечения графиков функций : Объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси x криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a;b]: Еще похожие презентации в нашем архиве: Подбираем похожую презентацию.

Алгебра – 11 класс. Первообразная функция

Например, в нашей задаче может быть задано положение нашего тела в самом начале движения. Тогда вычислить константу не трудно, подставив ноль в полученное уравнение, получим значение константы.

Как называется такая операция? Операция обратная дифференцированию называется – интегрированием. Нахождение функции по заданной производной – интегрирование.

Сама функция будет называться первообразной, то есть образ, то из чего была получена производная функции. Первообразную принято записывать большой буквой $y=F'(x)=f(x)$. Определение. Функцию $y=F(x)$ называется первообразной функции $у=f(x)$ на промежутке Х, если для любого $хϵХ$ выполняется равенство $F’(x)=f(x)$.

Давайте составим таблицу первообразных для различных функции. Ее надо распечатать в качестве памятки и выучить.

В нашей таблице никаких начальных условий задано не было.

«Первообразная». 11-й класс

Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию. Цель.

1. Дать определение первообразной функции; познакомить с формулами и правилами нахождения первообразных; научить находить первообразную для функции.
2. Воспитывать такие качества личности как познавательная активность, чувства уважения к учебному труду, ответственность за полученный результат.
3. Развивать логическое мышление, познавательный интерес к предмету; самостоятельность; уверенность в своих силах.

План урока.

1. Организационный момент. Сообщение цели урока. 2. Актуализация знаний. Определение производной функции. (Презентация, слайд 2). Устная работа.

(Презентация, слайд 3,4). 3. Объяснение новой темы. Создание проблемной ситуации.

1. Повторение физического смысла производной.

(Презентация, слайд 5). 2. Решение задачи: Точка движется прямолинейно по закону s(t) =

+ 2t (где s(t) – измеряется в м).

Презентация к уроку алгебры «Первообразная»

Примеры

F  (x)= (x 2 )  = 2x = f(x)

1. f(x) = – sin x; F(x) = с os x

F  (x)= (cos x)  = – sin x = f(x)

1. f(x) = 6x 2 + 4; F(x) = 2x 3 + 4x

F  (x)= (2x 3 + 4x)  = 6x 2 + 4 = f(x)

1. f(x) = 1/cos 2 x; F(x) = tg x

F  (x)= (tg x)  = 1/cos 2 x= f(x) КАК СОСТАВЛЕНА ЭТА ТАБЛИЦА?

ПРАВИЛА ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ ЧТО УЗНАЛИ НОВОГО НА УРОКЕ?

1. Что вызвало затруднение в работе на уроке?
2. Что уже знали из рассмотренного на уроке?
3. Оцените урок

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1. № 48.4-письм.
2. № 48-устно.
3. Парагр.48

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Неопределенным интегралом от непрерывной на интервале (a; b) функции f(x) называют любую ее первообразную функцию.